Définition
Définition :
Soient \(E_1,\dots,E_n,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés. Soit \(U\) un ouvert de \(E_1\times\dots\times E_n\) et soit \(f:U\to F\)
On appelle différentielles partielles de \(f\) en \(a\) et on note \(d_kf(a)\) les différentielles des applications $$x_k\in E\longrightarrow f(a_1,\dots,a_{k-1},x_k,a _{k+1},\dots,a_n)$$ (une seule variable n'est pas muette)
(
Différentiabilité,
Topologie produit)
Propriétés
Lien avec la différentielle
Lien entre les différentielles partielles et la différentielle :
- \(f:E_1\times\dots\times E_n\to F\) est différentiable en \(a\)
$$\Huge\iff$$
- elle admet des différentielles partielles et $$df(a)(h)=\sum^n_{k=1}d_kf(a)(h_k)$$
[!Warning]
La réciproque est fausse
